PINN求解泊松方程

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Apr 7, 2025
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上面是通过离散泊松方程求解的 ，这个结果其实不怎么对，下面是加密内容，需要获取代码联系我
加密内容

专业解读

1.这个 Solver 类是 fast_poisson_solver 包的核心组件，专门用于快速求解泊松方程。下面是对其工作流程和主要组件的详细分析：

初始化过程 (__init__)

  1. 参数设置：
      • device: 计算设备 ('cuda' 或 'cpu')
      • precision: 计算精度 (如 torch.float32)
      • verbose: 是否输出详细日志
      • use_weights: 是否使用预训练权重
      • compile_model: 是否编译模型以加速
      • lambdas_pde: PDE损失函数的权重列表(默认为[2^-12])
      • seed: 随机数种子，确保结果可重现
  1. 环境配置：
      • 设置CUDA计算精度选项
      • 设置随机数种子
      • 初始化损失存储数组
  1. 资源路径：
      • 设置权重和预计算数据的存储路径
      • 创建预计算数据目录(如果不存在)
  1. 加载模型信息：
      • load_data(): 加载模型配置信息
      • build_model(): 构建PINN(物理信息神经网络)模型

模型构建 (build_model)

  1. 创建PINN模型并移至指定设备
  1. 如果use_weights=True，加载预训练权重
  1. 设置模型精度
  1. 如果compile_model=True且支持，使用PyTorch 2.0的编译功能加速

网络评估方法

  1. evaluate_network_pde():
      • 计算PDE内部点上的神经网络输出
      • 计算拉普拉斯算子(∇²)
      • 预计算各种矩阵，加速后续求解
  1. evaluate_network_bc():
      • 计算边界点上的神经网络输出
      • 预计算边界相关的矩阵

预计算与数据管理

  1. precompute():
      • 格式化输入坐标数据
      • 检查坐标范围(应在[0,1]内)
      • 根据情况加载或计算预处理数据
      • 可选保存预计算结果
  1. precompute_LHS_RHS():
      • 预计算线性方程组的左侧(系数矩阵)和右侧
      • 这是PINN方法的核心，将网络与物理约束结合
  1. save_precomputed_data()/load_precomputed_data():
      • 保存/加载预计算数据，避免重复计算

求解方法 (solve)

这是整个类的核心功能：
  1. 格式化输入的源项(f)和边界条件(bc)
  1. 使用预计算的矩阵构建完整的线性系统
  1. 对每个lambda值(PDE权重)求解线性方程
  1. 如果有多个lambda，选择损失最小的结果
  1. 计算并返回结果:
      • u_pred: 完整解
      • u_pde_pred: 域内解
      • u_bc_pred: 边界解
      • f_pred: 预测的源函数
      • runtime: 运行时间

工作流程总结

  1. 初始化阶段:
      • 配置参数和环境
      • 加载模型架构和权重
  1. 预计算阶段 (precompute):
      • 评估网络在内部点和边界上的行为
      • 预计算线性系统的系数矩阵
      • 可选保存预计算结果
  1. 求解阶段 (solve):
      • 使用预计算的系数求解线性方程
      • 选择最优lambda值(如果提供多个)
      • 返回完整解决方案
 
该求解器基于PINN(物理信息神经网络)框架，将神经网络与偏微分方程的物理约束结合。其核心思想是:
  1. 使用神经网络作为通用函数逼近器
  1. 网络的输出经过拉普拉斯算子后应匹配给定的源项f
  1. 网络在边界上的输出应满足边界条件bc
  1. 通过构造合适的损失函数实现上述约束
  1. 关键创新：预计算和线性系统求解，避免了传统PINN中的迭代训练过程
基于PINN 的相位展开，真正撰写相关的论文！后续会发表！
 
 
当我们使用神经网络求解泊松方程时，通常设定未知解的近似表示为
u(x,y) = H(x,y) · w_out + bias
其中
H(x,y) 是通过神经网络得到的特征向量（也称为基函数），
w_out 是待求的权重向量，
bias 是常数偏置项。
泊松方程的一般形式为
其中 ∆ 表示拉普拉斯算子（例如：）。
由于偏置项 bias 是常数，其拉普拉斯算子为 0，可以忽略，所以对 u(x,y) 求拉普拉斯得到
∆u(x,y) = ∆(H(x,y) · w_out)
利用线性性，有
∆u(x,y) = (∆H(x,y)) · w_out
在代码中，我们通过函数 calculate_laplace 计算的结果就是
DH = ∆H(x,y)
因此，将 DH 与权重向量 w_out 作矩阵乘法，就得到了预测源函数 f_pred：
f_pred = DH · w_out
简单整理一下推导过程如下：
这就是为什么在求解过程中，用 f_pred = torch.matmul(self.DH, self.w_out) 来表示预测的源函数——它直接反映了神经网络构造的解在应用拉普拉斯算子后的结果。