TIE 泊松方程相位展开

TIE (传输强度方程) 的数学形式及其光学应用

TIE 的数学形式

• 是波数（$\lambda$ 为波长）

• 是光场在位置 和传播距离 处的强度

• 是相应位置的相位

• 表示垂直于光传播方向的梯度算子

原理推导

TIE 可以从波动光学基本原理推导出来：

1. 开始于准单色光的波动方程：

2. 使用复振幅表示：

3. 代入抛物线波动方程（接近轴近似）：

4. 分离实部和虚部，并操作强度和相位表达式

5. 最终得到 TIE 方程，它建立了强度沿传播方向的变化率与相位的关系

更加详细的推导过程

1. 首先，我们从描述单色光的亥姆霍兹方程出发，对复光场 U(x, y, z) 满足 Helmholtz 方程：
∇²U + k²U = 0
其中，k=2π/λ 是波数。

2. 然后我们将光场写成振幅和相位的乘积形式：
U(x,y,z) = √I(x,y,z) · exp[iφ(x,y,z)]
其中 I(x,y,z) 表示光强，φ(x,y,z) 表示相位。

3. 在大多数实际光学系统中，我们可以使用抛物线近似（Paraxial Approximation），该近似假设光波主要沿 z 方向传播，横向变化较为缓慢。根据这一假设，波动方程可以近似写为抛物线波动方程：
∂U/∂z = (i/2k) ∇²_⊥ U
这里 ∇²_⊥ 是横向拉普拉斯算子（仅作用于 x 和 y 方向）。

4. 把 U(x,y,z)= √I(x,y,z) exp(iφ(x,y,z)) 代入上式，我们需要计算 ∂U/∂z 和 ∇²_⊥ U。在计算时，由于 U 由幅值 √I 与相位 exp(iφ) 组成，使用乘积法则以及复合函数求导，得到两个主要部分：
• 一个部分涉及 ∂√I/∂z，描述强度沿 z 的变化；
• 另一部分涉及 √I·(∂φ/∂z)，描述相位沿 z 的变化。

5. 进一步将复数式分离成实部与虚部，最终可以得到一个仅包含强度与相位梯度的关系式。这一步骤比较繁琐，需要利用下面几个恒等式和近似：
• 先计算 U 的横向拉普拉斯：
∇²_⊥ U = exp(iφ) [∇²_⊥√I + 2i(∇_⊥√I)·(∇_⊥φ) - √I (∇_⊥φ)² + i√I∇²_⊥φ]
• 分离出实部和虚部，再结合对 z 的偏导数部分，经过整理和近似（比如忽略对 I 的二阶横向导数项，在弱衍射或弱相位扰动条件下比较适用）之后，就可以得到：
• k ∂I/∂z = ∇_⊥ · (I ∇_⊥φ)
这就是传输强度方程（TIE）的标准形式。

6. TIE 的物理意义在于，它把沿传播方向 z 上的强度变化（∂I/∂z）与横向相位梯度（∇_⊥φ）联系起来，从而可以在没有干涉仪的情况下，通过测量强度的变化来恢复相位信息。这对于定量相位成像、相衬显微镜以及自适应光学系统具有重要应用。

• 复振幅表征光场（即 U=√I exp(iφ)）；

• 抛物线近似简化波动方程；

• 分离实虚部、提取出强度和相位之间的关系。

求解方法

1. 傅里叶变换方法：当强度分布近似均匀时

2. 迭代方法：处理非均匀强度分布

3. 绿函数方法：解决边界条件问题

4. 正则化方法：处理噪声和数据不完整情况

1. 数学唯一性：
TIE是一个偏微分方程（PDE），其解在没有边界条件的情况下可能不唯一。Neumann边界条件通过指定相位在边界上的法向导数（即边界处的光强梯度），为方程提供了一个确定的约束条件，从而保证解的唯一性（在加性常数范围内）。

2. 物理意义：
Neumann边界条件假设边界处的光强梯度为零或已知函数 g ，即。这对应于物理场景中光波在边界处不发生突然变化（例如无反射或能量守恒），是一种自然边界条件。对于数字全息等应用，这种条件简化了计算，同时符合实际光学系统的行为。

3. 实际应用中的简化：
在数值求解时（如离散余弦变换DCT），Neumann边界条件允许直接利用对称性或周期性处理边界问题，避免复杂的边界效应。例如，DCT天然满足零梯度边界条件，因此无需额外处理即可高效求解TIE。

为什么解会有一个“加性常数”？

Neumann边界条件的作用

物理意义

• 如果 是一个解，那么 也是一个解（因为相位是周期性的，相差 在干涉测量中无法区分）。

• 但通常我们关心的是相位的梯度（即光波的传播方向）或相位差（如物体的形貌），而不是绝对相位值。

如何消除加性常数的不确定性？

1. 选择一个参考点：例如，假设某一点的相位值为 0。

2. 全局优化：在最小二乘或迭代求解时，可以强制相位均值为 0。

3. 实验校准：通过已知的参考相位（如平坦背景）来校准绝对相位。

对比 Dirichlet 边界条件

总结

• Neumann 边界条件限制了相位的梯度，但允许解整体平移一个常数 ，因此解在加性常数之前唯一。

• 物理上，这对应于我们只能测量相位的相对变化，而无法确定绝对相位值。

• 计算上，这不会影响实际应用，因为我们通常关注的是相位差或梯度信息。

1. 从包裹相位 构造复波函数 （公式3）

• 是测量得到的光强（通常在全息图的记录平面处）。

• 是通过干涉或全息重建得到的包裹相位。

注：如果光强 是均匀的（例如 ），则可以简化为 。

2. 计算强度的轴向导数

(1) 数值传播波函数 U

• 是傅里叶变换和逆傅里叶变换。

• 是波数， 是光波长。

• 是空间频率。

(2) 计算传播后的光强

(3) 数值微分求

关键点：

这里 的物理意义是光强在微小传播距离内的变化，它隐含了相位 的梯度信息（即 TIE 的右侧）。

3. 通过 TIE 求解展开相位

(1) 离散余弦变换（DCT）求解

• 是离散余弦变换及其逆变换。

• 是拉普拉斯算子的特征值（\(a, b\) 是图像尺寸）。

• 是一个小常数，避免除以零。

(2) 物理意义

• DCT 的优势：DCT 天然满足 Neumann 边界条件（边界处梯度为零），无需显式处理边界，计算效率高。

• 解的唯一性：由于 TIE 的解在加性常数之前唯一，最终结果可能需要通过参考点或全局平移来固定绝对相位值（例如设 ）。

4. 与传统方法的对比

• FFT-TIE：传统方法使用快速傅里叶变换（FFT）求解泊松方程，但需要对称延拓（Volkov 方案）处理边界，计算量较大。

• DCT-TIE：直接利用 DCT 的硬边界条件，无需延拓，计算速度更快，且精度相当。

5. 实验验证

1. 对于平滑相位物体（如 peaks），DCT-TIE 和 FFT-TIE 的均方根误差（RMSE）相同，但 DCT-TIE 更快。

2. 对于剧烈变化的相位（如 cameraman），DCT-TIE 仍能保持鲁棒性，而传统 DCT-LS 方法可能失败。

总结

1. 输入：包裹相位 和光强 → 构造复波函数。

2. 计算 ：数值传播 到 ，差分求光强变化。

3. 求解泊松方程：用 DCT 反演 ，得到展开相位 。

4. 优势：DCT-TIE 无需相位解包裹的路径跟踪，避免了噪声累积问题，且计算高效。

复杂环境下的相位解包裹研究_V建模忠哥V的博客-CSDN博客

稀疏相位展开，稀疏数据解包裹,泽尼克相位拟合c++ 代码（Eigen库版本，并行加速处理，1k*1K的1秒不到）,相位展开枝切法c++ 代码 （使用的是Eigen库 ，原创代码，2k*2k像素，展开速度只要6百毫秒）,算法,人工智能

https://blog.csdn.net/weixin_43608857/category_12521163.html?spm=1001.2014.3001.5482

角谱法

• 将光场分解为不同方向的平面波（角谱），每个平面波在传播过程中独立演化。

• 传播过程：在频域中，每个角谱分量乘以一个相位延迟因子 ，其中 是传播方向的波数分量。

1.为什么用角谱法？

2. 数学推导步骤

（1）初始复波函数

（2）角谱传播公式

• 是二维傅里叶变换，将空域光场转换为频域角谱。

• 是传播方向的波数，满足 ( 为总波数）。

• 是传播相位因子，表示每个角谱分量的相位延迟。

（3）计算传播后的光强

（4）数值微分求

3. 关键问题与注意事项

（1） 的选择

• 太小：光强变化 会被数值噪声淹没。

• 太大：泰勒展开的高阶项（非线性效应）引入误差。经验值：通常取 （光波长量级）。

（2）频域滤波

• 在频域截断高频分量（即限制 )。

• 添加正则化小常数 （如公式8）避免除零。

（3）边界处理

• 周期性假设：FFT 默认输入信号是周期性的，若实际光场非周期，需通过 窗函数 或 边缘延拓（如 RMP 方案）减少 Gibbs 效应。

• DCT 的优势：DCT 天然满足 Neumann 边界条件（边界梯度为零），无需额外处理。

4. 角谱法与菲涅尔衍射的区别

5. 实例说明

1. 输入：包裹相位 （图2(b)）→ 构造 。

2. 角谱传播：
• 计算 和 。
• 得到。

3. 求导：。

4. 求解 TIE：通过 DCT 反演 ，得到展开相位（图2(c)）。

6. 常见疑问解答

Q1：为什么角谱法能用于 TIE？

Q2：能否用其他传播方法（如菲涅尔积分）？

Q3：频域中的 如何理解？

总结

1. 构造初始复波函数 。

2. 通过 FFT 转换到频域，乘以传播相位因子 。

3. 逆 FFT 回空域，得到 并计算光强。

4. 差分求 ，最终用 DCT 求解 TIE 得到展开相位。

空域与频域的基本概念

• 空域：光场 表示在空间坐标上的复振幅分布（包含振幅和相位信息）。

• 频域：通过傅里叶变换将空域信号分解为不同空间频率 的平面波分量（角谱），每个分量对应一个传播方向。

1.傅里叶变换的原理

数学定义

• 物理意义：将 分解为无数个复指数平面波的叠加。

• 空间频率 ：表示平面波在 x 和 y 方向上的周期数（单位：cycles/m 或 lines/mm）。

2.逆傅里叶变换

3.角谱法的频域表示

• 角谱 ：表示光场中空间频率为的平面波分量的复振幅。

• 传播方向的关联：
• 平面波的传播方向由波矢决定，其中：
• 每个角谱分量对应一个传播方向，方向余弦为（n为折射率）。

4.角谱法的传播过程

步骤1：空域 → 频域（傅里叶变换）

步骤2：频域传播（相位调制）

• 传播相位因子：表示平面波在自由空间中传播 距离后的相位延迟。

• 倏逝波处理：当时，为虚数，对应倏逝波（快速衰减），通常直接截断（即忽略高频分量）。

步骤3：频域 → 空域（逆傅里叶变换）

5. 关键点解析

（1）频域中的传播相位因子

• 物理意义：相位因子 精确描述了每个平面波分量的传播行为。

• 与菲涅尔近似的区别：
• 菲涅尔近似假设（仅适用于小角度传播）。
• 角谱法无近似，适用于任意传播角度。

（2）空间频率与传播方向

• 低频分量(小）：接近轴向传播（）。

• 高频分量（ 大）：对应大角度传播或倏逝波（需截断）。

（3）离散傅里叶变换（DFT）的实现

• 采样限制：空间采样间隔 决定了最大可分辨频率 （Nyquist 定理）。

• 周期性边界：DFT 默认输入信号是周期性的，需通过窗函数或延拓减少边缘效应。

6. 实例演示（以 TIE 为例）

1. 输入：包裹相位 和光强→ 构造 。

2. 角谱传播：
• 计算 。
• 乘以 得到 。
• 逆 FFT 得到。

3. 光强导数：通过计算。

7. 傅里叶变换的物理意义总结

• 分解：将复杂光场分解为简单平面波的线性组合。

• 传播：在频域中独立处理每个平面波分量的相位延迟。

• 合成：通过逆变换重建传播后的光场。

关于代码的实现

1. psi = exp(1i*phase_wrap);

• 作用：将包裹相位 转换为复波函数。

• 物理意义： 假设光强 （均匀照明），复波函数 的相位直接由包裹相位 定义。 此步骤将相位信息编码为复数形式，便于后续梯度计算。

2. 计算梯度（edx 和 edy）

代码：

• 步骤拆解：
1. diff(psi, 1, 2)：
对 psi 在 列方向（x 方向） 计算一阶差分，得到。
• 输入：复波函数矩阵（尺寸：）。
• 输出：梯度矩阵（尺寸：）。
2. wrapToPi：
将差分结果包裹到 范围内，避免相位跳变导致的误差。
3. 补零操作：
• 列方向（edx）：在梯度矩阵的左侧和右侧各补一列零，保持原尺寸 。
• 行方向（edy）：在梯度矩阵的上方和下方各补一行零，保持原尺寸 。

• 物理意义：
• edx 表示方向的相位梯度 （包裹后）。
• edy 表示 方向的相位梯度 （包裹后）。

3. 计算拉普拉斯算子（lap）

代码：

• 步骤拆解：
1. diff(edx, 1, 2)：
对 edx 在 列方向（x 方向） 再次差分，得到（二阶导数）。
2. diff(edy, 1, 1)：
对 edy 在 行方向（y 方向） 再次差分，得到 （二阶导数）。
3. 相加：
将两个二阶导数相加，得到拉普拉斯算子 。

• 物理意义：
• 拉普拉斯算子表征了相位的局部曲率，与光强沿传播方向的变化相关。

4. 计算右端项 rho

代码：

• 步骤拆解：
1. conj(psi)：
计算复波函数 的共轭 。
2. 逐元素乘法：
将 与拉普拉斯结果 逐元素相乘，得到 。
3. 取虚部：
提取乘积的虚部，即 。

• 物理意义：
根据 TIE 的推导，光强导数 满足： 因此，rho 对应 TIE 方程中的右端项（符号和比例常数可能被吸收到后续求解中）。

---

5. 代码流程总结

6. 关键注意事项

1. 相位包裹处理：
wrapToPi 确保差分后的梯度值在 内，避免跳变误差。

2. 补零的目的：
保持矩阵尺寸一致，使后续的二阶差分操作可行。

3. TIE 方程的隐式比例常数：
实际代码中可能省略了比例因子（如 ），但最终通过泊松方程求解时会被自动吸收。

7. 示例验证

1. 计算 psi：

2. 计算 edx 和 edy：
• diff(psi, 1, 2)（列方向差分）：
• 包裹后补零得到 edx 和 edy。

3. 计算 lap 和 rho：
通过二阶差分和虚部提取，最终得到 TIE 的右端项。