Poisson CNN：用于在笛卡尔网格上求解 Poisson 方程的卷积神经网络

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Apr 18, 2025

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泊松方程

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泊松方程在工程中很常见，例如在计算流体动力学（CFD）中，需要计算压力场的修正以确保速度场的不可压缩性。在本工作中，我们提出了一种新的全卷积神经网络（CNN）架构，用于推断 2D 笛卡尔网格上泊松方程的解，给定右侧项、任意边界条件和网格参数，具有不同的分辨率。它为处理偏微分方程的 CNN 方法提供了前所未有的多功能性。边界条件使用一种新颖的方法处理，方法是将原始泊松问题分解为齐次泊松问题加上四个非齐次拉普拉斯子问题。该模型使用一种新的损失函数进行训练，该函数近似于预测和目标之间的连续 Lp 范数。即使在比以前遇到的密度更大的网格上进行预测时，我们的模型也展示了令人鼓舞的重现正确解决方案配置文件的能力。所提出的模型优于众所周知的神经网络模型，可以包含在 CFD 求解器中，以帮助求解泊松方程。分析测试用例表明，我们的 CNN 架构能够预测平均百分比误差低于 10% 的泊松问题的正确解决方案，与传统迭代方法的第一步相比，这是一个改进。与零初始猜测相比，我们模型的预测用作 Multigrid 等迭代算法的初始猜测，可以在单次迭代后将均方根误差减少 90% 以上。

影响陈述泊松方程是需要求解的计算最密集的偏微分方程之一，需要非常昂贵的迭代方法。我们提出了一种新颖而灵活的 CNN 架构，它可以作为笛卡尔网格上现有迭代方法的替代方案，也可以增强它们。与现有的 NN 模型相比，只要边界条件类型（狄利克雷、诺伊曼等）保持不变，所提出的框架就可以处理不同的边界条件和域纵横比，而无需重新训练。所提出的模型可以使工程师更快地运行仿真，例如在计算流体动力学中，对于不可压缩流，必须在仿真的每个时间步求解泊松方程。

1. 引言

偏微分方程（PDE）描述了工程和科学许多领域的复杂系统，范围从流体流动到期权定价。尽管它们无处不在，但准确解决它们的成本可能非常高。工程中最重要的偏微分方程之一是泊松方程，在数学上表示为

其中 f 是强制项，φ 是寻求解的变量。泊松问题出现在各种问题中，包括热传导、引力、流体流动模拟和电动力学，在许多现代技术的设计中起着核心作用。然而，对于涉及数百万个自由度的大型问题，只能通过采用迭代方法对泊松方程进行数值求解。例如，众所周知，要获得不可压缩的 Navier-Stokes 方程（用于描述湍流运动的数学模型）的解，不压缩性的处理是一个真正的困难。任何算法都必须确保在计算过程中的任何给定时间都存在无散度的流场。求解泊松方程的不可避免的步骤，如每个 Chorin （1967， 1968， 9）的分数阶跃法引入的那样，在计算上可能非常昂贵（它可以代表高达 90% 的计算工作），因为它通常基于所述复杂的迭代技术。